Risolvi 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Trova t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come t^{2}+at+bt-4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -4.

$$1,-4 2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-4=-3 2-2=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-4 b=1$$

Riscrivi t^{2}-3t-4 come \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Scomponi t in t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Fattorizza il termine comune t-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere t-4=0 e t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 49 a a, -147 a b e -196 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Eleva -147 al quadrato.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Moltiplica -4 per 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Moltiplica -196 per -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Aggiungi 21609 a 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Calcola la radice quadrata di 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

L'opposto di -147 è 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Moltiplica 2 per 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{147±245}{98} quando ± è più. Aggiungi 147 a 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Dividi 392 per 98.

$$t=4$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{147±245}{98} quando ± è meno. Sottrai 245 da 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Dividi -98 per 98.

$$t=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=4 t=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Aggiungi 196 a entrambi i lati dell'equazione.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Sottraendo -196 da se stesso rimane 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Sottrai -196 da 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Dividi entrambi i lati per 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

La divisione per 49 annulla la moltiplicazione per 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Dividi -147 per 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Dividi 196 per 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 4 a \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Fattore t^{2}-3t+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=4 t=-1$$