Risolvi 49n^2-56n+16

$$49 n ^ { 2 } - 56 n + 16$$

Scomponi in fattori

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 49n^{2}+an+bn+16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-56 ab=49\times 16=784$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 784.

$$-1,-784 -2,-392 -4,-196 -7,-112 -8,-98 -14,-56 -16,-49 -28,-28$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-784=-785 -2-392=-394 -4-196=-200 -7-112=-119 -8-98=-106 -14-56=-70 -16-49=-65 -28-28=-56$$

La soluzione è la coppia che restituisce -56 come somma.

$$a=-28 b=-28$$

Riscrivi 49n^{2}-56n+16 come \left(49n^{2}-28n\right)+\left(-28n+16\right).

$$\left(49n^{2}-28n\right)+\left(-28n+16\right)$$

Fattori in 7n nel primo e -4 nel secondo gruppo.

$$7n\left(7n-4\right)-4\left(7n-4\right)$$

Fattorizza il termine comune 7n-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(49n^{2}-56n+16)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(49,-56,16)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Trova la radice quadrata del termine finale 16.

$$\sqrt{16}=4$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}-56n+16=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 49\times 16}}{2\times 49}$$

Eleva -56 al quadrato.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 49\times 16}}{2\times 49}$$

Moltiplica -4 per 49.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-196\times 16}}{2\times 49}$$

Moltiplica -196 per 16.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-3136}}{2\times 49}$$

Aggiungi 3136 a -3136.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±0}{2\times 49}$$

L'opposto di -56 è 56.

$$n=\frac{56±0}{2\times 49}$$

Moltiplica 2 per 49.

$$n=\frac{56±0}{98}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{4}{7} e x_{2} con \frac{4}{7}.

$$49n^{2}-56n+16=49\left(n-\frac{4}{7}\right)\left(n-\frac{4}{7}\right)$$

Sottrai \frac{4}{7} da n trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{7n-4}{7}\left(n-\frac{4}{7}\right)$$

Sottrai \frac{4}{7} da n trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{7n-4}{7}\times \frac{7n-4}{7}$$

Moltiplica \frac{7n-4}{7} per \frac{7n-4}{7} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)}{7\times 7}$$

Moltiplica 7 per 7.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)}{49}$$

Annulla il massimo comune divisore 49 in 49 e 49.

$$49n^{2}-56n+16=\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)$$

Calcola

$$\left(7n-4\right)^{2}$$