Risolvi 47x^2+6x+10=0

$$47 { x }^{ 2 } +6x+10=0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-3+\sqrt{461}i}{47}\approx -0,063829787+0,456827884i$$

$$x=\frac{-\sqrt{461}i-3}{47}\approx -0,063829787-0,456827884i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$47x^{2}+6x+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 47 a a, 6 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 47\times 10}}{2\times 47}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 47\times 10}}{2\times 47}$$

Moltiplica -4 per 47.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-188\times 10}}{2\times 47}$$

Moltiplica -188 per 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-1880}}{2\times 47}$$

Aggiungi 36 a -1880.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-1844}}{2\times 47}$$

Calcola la radice quadrata di -1844.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{461}i}{2\times 47}$$

Moltiplica 2 per 47.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{461}i}{94}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±2\sqrt{461}i}{94} quando ± è più. Aggiungi -6 a 2i\sqrt{461}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{461}i}{94}$$

Dividi -6+2i\sqrt{461} per 94.

$$x=\frac{-3+\sqrt{461}i}{47}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±2\sqrt{461}i}{94} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{461} da -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{461}i-6}{94}$$

Dividi -6-2i\sqrt{461} per 94.

$$x=\frac{-\sqrt{461}i-3}{47}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-3+\sqrt{461}i}{47} x=\frac{-\sqrt{461}i-3}{47}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$47x^{2}+6x+10=0$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$47x^{2}+6x+10-10=-10$$

Sottraendo 10 da se stesso rimane 0.

$$47x^{2}+6x=-10$$

Dividi entrambi i lati per 47.

$$\frac{47x^{2}+6x}{47}=-\frac{10}{47}$$

La divisione per 47 annulla la moltiplicazione per 47.

$$x^{2}+\frac{6}{47}x=-\frac{10}{47}$$

Dividi \frac{6}{47}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{47}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{47} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{6}{47}x+\left(\frac{3}{47}\right)^{2}=-\frac{10}{47}+\left(\frac{3}{47}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{47} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{6}{47}x+\frac{9}{2209}=-\frac{10}{47}+\frac{9}{2209}$$

Aggiungi -\frac{10}{47} a \frac{9}{2209} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{6}{47}x+\frac{9}{2209}=-\frac{461}{2209}$$

Fattore x^{2}+\frac{6}{47}x+\frac{9}{2209}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{47}\right)^{2}=-\frac{461}{2209}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{47}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{461}{2209}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{47}=\frac{\sqrt{461}i}{47} x+\frac{3}{47}=-\frac{\sqrt{461}i}{47}$$

Sottrai \frac{3}{47} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-3+\sqrt{461}i}{47} x=\frac{-\sqrt{461}i-3}{47}$$