Risolvi 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 42x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-14 b=9$$

Riscrivi 42x^{2}-5x-3 come \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Fattori in 14x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-1=0 e 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 42 a a, -5 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Moltiplica -4 per 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Moltiplica -168 per -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Aggiungi 25 a 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Calcola la radice quadrata di 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Moltiplica 2 per 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±23}{84} quando ± è più. Aggiungi 5 a 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Riduci la frazione \frac{28}{84} ai minimi termini estraendo e annullando 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±23}{84} quando ± è meno. Sottrai 23 da 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{84} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Dividi entrambi i lati per 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

La divisione per 42 annulla la moltiplicazione per 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Riduci la frazione \frac{3}{42} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Dividi -\frac{5}{42}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{84}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{84} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{84} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Aggiungi \frac{1}{14} a \frac{25}{7056} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Aggiungi \frac{5}{84} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$