Risolvi 40+3x=x^2

$$40+3x= { x }^{ 2 }$$

Trova x

$$x=-5$$

$$x=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$40+3x-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+3x+40=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+40. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=-40=-40$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=8 b=-5$$

Riscrivi -x^{2}+3x+40 come \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-5x+40\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-5x+40\right)$$

Fattori in -x nel primo e -5 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-8\right)-5\left(x-8\right)$$

Fattorizza il termine comune x-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(-x-5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-8=0 e -x-5=0.

$$x=8 x=-5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$40+3x-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+3x+40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 3 a b e 40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 40}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 40}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 40}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 9 a 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-3±13}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±13}{-2} quando ± è più. Aggiungi -3 a 13.

$$x=\frac{10}{-2}$$

Dividi 10 per -2.

$$x=-5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±13}{-2} quando ± è meno. Sottrai 13 da -3.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Dividi -16 per -2.

$$x=8$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-5 x=8$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$40+3x-x^{2}=0$$

Sottrai 40 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$3x-x^{2}=-40$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-40$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{40}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{40}{-1}$$

Dividi 3 per -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{40}{-1}$$

Dividi -40 per -1.

$$x^{2}-3x=40$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=40+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=40+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 40 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{169}{4}$$

Fattore x^{2}-3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{13}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=8 x=-5$$