Risolvi 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 40x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

La soluzione è la coppia che restituisce -14 come somma.

$$a=-10 b=-4$$

Riscrivi 40x^{2}-14x+1 come \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Fattori in 10x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x-1=0 e 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 40 a a, -14 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Eleva -14 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Moltiplica -4 per 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Aggiungi 196 a -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

L'opposto di -14 è 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Moltiplica 2 per 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±6}{80} quando ± è più. Aggiungi 14 a 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Riduci la frazione \frac{20}{80} ai minimi termini estraendo e annullando 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±6}{80} quando ± è meno. Sottrai 6 da 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Riduci la frazione \frac{8}{80} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

La divisione per 40 annulla la moltiplicazione per 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Riduci la frazione \frac{-14}{40} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Dividi -\frac{7}{20}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{40}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{40} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{40} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Aggiungi -\frac{1}{40} a \frac{49}{1600} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Fattore x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Aggiungi \frac{7}{40} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$