Risolvi 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

Trova z

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8,507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23,507810594$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4z^{2}+60z=800$$

Sottrai 800 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

Sottraendo 800 da se stesso rimane 0.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 60 a b e -800 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 60 al quadrato.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

Aggiungi 3600 a 12800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 16400.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} quando ± è più. Aggiungi -60 a 20\sqrt{41}.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

Dividi -60+20\sqrt{41} per 8.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} quando ± è meno. Sottrai 20\sqrt{41} da -60.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

Dividi -60-20\sqrt{41} per 8.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+60z=800$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

Dividi 60 per 4.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

Dividi 800 per 4.

$$z^{2}+15z=200$$

Dividi 15, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{15}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{15}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{15}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

Aggiungi 200 a \frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

Scomponi z^{2}+15z+\frac{225}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

Semplifica.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

Sottrai \frac{15}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$