Risolvi 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Trova y

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4y^{2}+ay+by+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

La soluzione è la coppia che restituisce -9 come somma.

$$a=-8 b=-1$$

Riscrivi 4y^{2}-9y+2 come \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Fattori in 4y nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Fattorizza il termine comune y-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-2=0 e 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -9 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Eleva -9 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Aggiungi 81 a -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

L'opposto di -9 è 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{9±7}{8} quando ± è più. Aggiungi 9 a 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Dividi 16 per 8.

$$y=2$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{9±7}{8} quando ± è meno. Sottrai 7 da 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Riduci la frazione \frac{2}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Dividi -\frac{9}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{9}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{9}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{9}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Aggiungi -\frac{1}{2} a \frac{81}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Fattore y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Aggiungi \frac{9}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$