Risolvi 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Trova y

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1,593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0,156929669$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -7 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Aggiungi 49 a -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} quando ± è più. Aggiungi 7 a \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{33} da 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Dividi -\frac{7}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Aggiungi -\frac{1}{4} a \frac{49}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Fattore y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Aggiungi \frac{7}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$