Risolvi 4y^2-24y+27

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

Scomponi in fattori

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 4y^{2}+ay+by+27. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 108.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

La soluzione è la coppia che restituisce -24 come somma.

$$a=-18 b=-6$$

Riscrivi 4y^{2}-24y+27 come \left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right).

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

Fattori in 2y nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

Fattorizza il termine comune 2y-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Eleva -24 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 27.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

Aggiungi 576 a -432.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 144.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

L'opposto di -24 è 24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{24±12}{8} quando ± è più. Aggiungi 24 a 12.

$$y=\frac{36}{8}$$

Riduci la frazione \frac{36}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$y=\frac{9}{2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{24±12}{8} quando ± è meno. Sottrai 12 da 24.

$$y=\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{9}{2} e x_{2} con \frac{3}{2}.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Sottrai \frac{9}{2} da y trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Sottrai \frac{3}{2} da y trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Moltiplica \frac{2y-9}{2} per \frac{2y-3}{2} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Annulla il massimo comune divisore 4 in 4 e 4.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Calcola

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$