Risolvi 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Trova x,.y

$$x=2$$

$$y=3$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$4x-y=5$$

Aggiungi y a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=y+5$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Moltiplica \frac{1}{4} per y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Sostituisci \frac{5+y}{4} a x nell'altra equazione -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Moltiplica -4 per \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Aggiungi -y a 5y.

$$4y-5=7$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4y=12$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$y=3$$

Sostituisci 3 a y in x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Moltiplica \frac{1}{4} per 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Aggiungi \frac{5}{4} a \frac{3}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=2,y=3$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=2,y=3$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Per rendere 4x e -4x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Semplifica.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Sottrai -16x+20y=28 a -16x+4y=-20 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Aggiungi -16x a 16x. I termini -16x e 16x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$4y-20y=-20-28$$

Aggiungi 4y a -20y.

$$-16y=-20-28$$

Aggiungi -20 a -28.

$$-16y=-48$$

Dividi entrambi i lati per -16.

$$y=3$$

Sostituisci 3 a y in -4x+5y=7. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Moltiplica 5 per 3.

$$-4x+15=7$$

Sottrai 15 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-4x=-8$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$x=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=2,y=3$$