Risolvi 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Trova x,.y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$4x-5y=2$$

Aggiungi 5y a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=5y+2$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Moltiplica \frac{1}{4} per 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Sostituisci \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} a x nell'altra equazione x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Aggiungi \frac{5y}{4} a 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{45}{4}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=\frac{18}{5}$$

Sostituisci \frac{18}{5} a y in x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Moltiplica \frac{5}{4} per \frac{18}{5} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a \frac{9}{2} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Per rendere 4x e x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Semplifica.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Sottrai 4x+40y=164 a 4x-5y=2 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Aggiungi 4x a -4x. I termini 4x e -4x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-5y-40y=2-164$$

Aggiungi -5y a -40y.

$$-45y=2-164$$

Aggiungi 2 a -164.

$$-45y=-162$$

Dividi entrambi i lati per -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Sostituisci \frac{18}{5} a y in x+10y=41. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Moltiplica 10 per \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Sottrai 36 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$