Risolvi 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Trova x,.y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$4x-3y=2$$

Aggiungi 3y a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=3y+2$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Moltiplica \frac{1}{4} per 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Sostituisci \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} a x nell'altra equazione x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Aggiungi \frac{3y}{4} a 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{23}{4}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=-2$$

Sostituisci -2 a y in x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Moltiplica \frac{3}{4} per -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a -\frac{3}{2} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-1,y=-2$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-1,y=-2$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Per rendere 4x e x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Semplifica.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Sottrai 4x+20y=-44 a 4x-3y=2 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Aggiungi 4x a -4x. I termini 4x e -4x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-3y-20y=2+44$$

Aggiungi -3y a -20y.

$$-23y=2+44$$

Aggiungi 2 a 44.

$$-23y=46$$

Dividi entrambi i lati per -23.

$$y=-2$$

Sostituisci -2 a y in x+5y=-11. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Moltiplica 5 per -2.

$$x-10=-11$$

Aggiungi 10 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-1,y=-2$$