Risolvi 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-5 b=4$$

Riscrivi 4x^{2}-x-5 come \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Scomponi x in 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Fattorizza il termine comune 4x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x-5=0 e x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -1 a b e -5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Aggiungi 1 a 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±9}{8} quando ± è più. Aggiungi 1 a 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Riduci la frazione \frac{10}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±9}{8} quando ± è meno. Sottrai 9 da 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Dividi -8 per 8.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Sottraendo -5 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Sottrai -5 da 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Dividi -\frac{1}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Aggiungi \frac{5}{4} a \frac{1}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Aggiungi \frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$