Risolvi 4x^2-x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{8}\approx 0,640388203$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}\approx -0,390388203$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -1 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+16}}{2\times 4}$$

Aggiungi 1 a 16.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{17}}{2\times 4}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{1±\sqrt{17}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±\sqrt{17}}{8} quando ± è più. Aggiungi 1 a \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±\sqrt{17}}{8} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{17} da 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{8} x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$4x^{2}-x=1$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{1}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}$$

Dividi -\frac{1}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{4}+\frac{1}{64}$$

Aggiungi \frac{1}{4} a \frac{1}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{17}{64}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{17}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{17}}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{17}}{8}$$

Aggiungi \frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{8} x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$$