Risolvi 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-4 b=-3$$

Riscrivi 4x^{2}-7x+3 come \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Fattori in 4x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -7 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Aggiungi 49 a -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±1}{8} quando ± è più. Aggiungi 7 a 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividi 8 per 8.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±1}{8} quando ± è meno. Sottrai 1 da 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Riduci la frazione \frac{6}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Sottraendo 3 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Dividi -\frac{7}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Aggiungi -\frac{3}{4} a \frac{49}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Fattore x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Aggiungi \frac{7}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$