Risolvi 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-4 b=-1$$

Riscrivi 4x^{2}-5x+1 come \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Fattori in 4x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -5 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Aggiungi 25 a -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±3}{8} quando ± è più. Aggiungi 5 a 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividi 8 per 8.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±3}{8} quando ± è meno. Sottrai 3 da 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Riduci la frazione \frac{2}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Dividi -\frac{5}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Aggiungi -\frac{1}{4} a \frac{25}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Aggiungi \frac{5}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$