Risolvi 4x^2-5-1/2x^2+3

$$4 x ^ { 2 } - 5 - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } + 3 }$$

Calcola

$$\frac{2\left(4x^{4}+x^{2}-8\right)}{2x^{2}+3}$$

Soluzione con pochi passaggi

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 4x^{2}-5 per \frac{2x^{2}+3}{2x^{2}+3}.

$$\frac{\left(4x^{2}-5\right)\left(2x^{2}+3\right)}{2x^{2}+3}-\frac{1}{2x^{2}+3}$$

Poiché \frac{\left(4x^{2}-5\right)\left(2x^{2}+3\right)}{2x^{2}+3} e \frac{1}{2x^{2}+3} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{\left(4x^{2}-5\right)\left(2x^{2}+3\right)-1}{2x^{2}+3}$$

Esegui le moltiplicazioni in \left(4x^{2}-5\right)\left(2x^{2}+3\right)-1.

$$\frac{8x^{4}+12x^{2}-10x^{2}-15-1}{2x^{2}+3}$$

Unisci i termini come in 8x^{4}+12x^{2}-10x^{2}-15-1.

$$\frac{8x^{4}+2x^{2}-16}{2x^{2}+3}$$

Differenzia rispetto a x

$$\frac{4x\left(8x^{4}+24x^{2}+19\right)}{\left(2x^{2}+3\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 4x^{2}-5 per \frac{2x^{2}+3}{2x^{2}+3}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\left(4x^{2}-5\right)\left(2x^{2}+3\right)}{2x^{2}+3}-\frac{1}{2x^{2}+3})$$

Poiché \frac{\left(4x^{2}-5\right)\left(2x^{2}+3\right)}{2x^{2}+3} e \frac{1}{2x^{2}+3} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\left(4x^{2}-5\right)\left(2x^{2}+3\right)-1}{2x^{2}+3})$$

Esegui le moltiplicazioni in \left(4x^{2}-5\right)\left(2x^{2}+3\right)-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x^{4}+12x^{2}-10x^{2}-15-1}{2x^{2}+3})$$

Unisci i termini come in 8x^{4}+12x^{2}-10x^{2}-15-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x^{4}+2x^{2}-16}{2x^{2}+3})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(2x^{2}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(8x^{4}+2x^{2}-16)-\left(8x^{4}+2x^{2}-16\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{2}+3)}{\left(2x^{2}+3\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(2x^{2}+3\right)\left(4\times 8x^{4-1}+2\times 2x^{2-1}\right)-\left(8x^{4}+2x^{2}-16\right)\times 2\times 2x^{2-1}}{\left(2x^{2}+3\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(2x^{2}+3\right)\left(32x^{3}+4x^{1}\right)-\left(8x^{4}+2x^{2}-16\right)\times 4x^{1}}{\left(2x^{2}+3\right)^{2}}$$

Moltiplica 2x^{2}+3 per 32x^{3}+4x^{1}.

$$\frac{2x^{2}\times 32x^{3}+2x^{2}\times 4x^{1}+3\times 32x^{3}+3\times 4x^{1}-\left(8x^{4}+2x^{2}-16\right)\times 4x^{1}}{\left(2x^{2}+3\right)^{2}}$$

Moltiplica 8x^{4}+2x^{2}-16 per 4x^{1}.

$$\frac{2x^{2}\times 32x^{3}+2x^{2}\times 4x^{1}+3\times 32x^{3}+3\times 4x^{1}-\left(8x^{4}\times 4x^{1}+2x^{2}\times 4x^{1}-16\times 4x^{1}\right)}{\left(2x^{2}+3\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{2\times 32x^{2+3}+2\times 4x^{2+1}+3\times 32x^{3}+3\times 4x^{1}-\left(8\times 4x^{4+1}+2\times 4x^{2+1}-16\times 4x^{1}\right)}{\left(2x^{2}+3\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{64x^{5}+8x^{3}+96x^{3}+12x^{1}-\left(32x^{5}+8x^{3}-64x^{1}\right)}{\left(2x^{2}+3\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{32x^{5}+96x^{3}+76x^{1}}{\left(2x^{2}+3\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{32x^{5}+96x^{3}+76x}{\left(2x^{2}+3\right)^{2}}$$