Risolvi 4x^2-4x-23=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x - 23 = 0$$

Trova x

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2}\approx 2,949489743$$

$$x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}\approx -1,949489743$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-4x-23=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -4 a b e -23 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -23.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+368}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a 368.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{384}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 384.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8\sqrt{6}}{2\times 4}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±8\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8} quando ± è più. Aggiungi 4 a 8\sqrt{6}.

$$x=\frac{8\sqrt{6}+4}{8}$$

Dividi 4+8\sqrt{6} per 8.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8} quando ± è meno. Sottrai 8\sqrt{6} da 4.

$$x=\frac{4-8\sqrt{6}}{8}$$

Dividi 4-8\sqrt{6} per 8.

$$x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-23=0$$

Aggiungi 23 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-4x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Sottraendo -23 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-23\right)$$

Sottrai -23 da 0.

$$4x^{2}-4x=23$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{23}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{23}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$x^{2}-x=\frac{23}{4}$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{23}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{23+1}{4}$$

Aggiungi \frac{23}{4} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=6$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=6$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\sqrt{6} x-\frac{1}{2}=-\sqrt{6}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$