Risolvi 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-2 b=-2$$

Riscrivi 4x^{2}-4x+1 come \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Fattorizza 2x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Fattorizzare il termine comune 2x-1 usando la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -4 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Riduci la frazione \frac{4}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Aggiungi -\frac{1}{4} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Scomponi x^{2}-x+\frac{1}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=\frac{1}{2}$$