Risolvi 4x^2-31x=8

$$4 x ^ { 2 } - 31 x = 8$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-31x-8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-31 ab=4\left(-8\right)=-32$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -32.

$$1,-32 2,-16 4,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-32=-31 2-16=-14 4-8=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -31 come somma.

$$a=-32 b=1$$

Riscrivi 4x^{2}-31x-8 come \left(4x^{2}-32x\right)+\left(x-8\right).

$$\left(4x^{2}-32x\right)+\left(x-8\right)$$

Scomponi 4x in 4x^{2}-32x.

$$4x\left(x-8\right)+x-8$$

Fattorizza il termine comune x-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(4x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-8=0 e 4x+1=0.

$$x=8 x=-\frac{1}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-31x=8$$

Sottrai 8 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-31x-8=8-8$$

Sottraendo 8 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-31x-8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -31 a b e -8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -31 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -8.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+128}}{2\times 4}$$

Aggiungi 961 a 128.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1089}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 1089.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±33}{2\times 4}$$

L'opposto di -31 è 31.

$$x=\frac{31±33}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{31±33}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{31±33}{8} quando ± è più. Aggiungi 31 a 33.

$$x=\frac{64}{8}$$

Dividi 64 per 8.

$$x=8$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{31±33}{8} quando ± è meno. Sottrai 33 da 31.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=8 x=-\frac{1}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-31x=8$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-31x}{4}=\frac{8}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}-\frac{31}{4}x=\frac{8}{4}$$

Dividi 8 per 4.

$$x^{2}-\frac{31}{4}x=2$$

Dividi -\frac{31}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{31}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{31}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{31}{4}x+\left(-\frac{31}{8}\right)^{2}=2+\left(-\frac{31}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{31}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{31}{4}x+\frac{961}{64}=2+\frac{961}{64}$$

Aggiungi 2 a \frac{961}{64}.

$$x^{2}-\frac{31}{4}x+\frac{961}{64}=\frac{1089}{64}$$

Fattore x^{2}-\frac{31}{4}x+\frac{961}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{8}\right)^{2}=\frac{1089}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1089}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{31}{8}=\frac{33}{8} x-\frac{31}{8}=-\frac{33}{8}$$

Aggiungi \frac{31}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=8 x=-\frac{1}{4}$$