Risolvi 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -18 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Eleva -18 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Aggiungi 324 a -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

L'opposto di -18 è 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} quando ± è più. Aggiungi 18 a 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Dividi 18+2\sqrt{61} per 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{61} da 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Dividi 18-2\sqrt{61} per 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Dividi -\frac{9}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{9}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{9}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{9}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Aggiungi -\frac{5}{4} a \frac{81}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Aggiungi \frac{9}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$