Risolvi 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-14x=9$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -14 a b e -9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -14 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Aggiungi 196 a 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

L'opposto di -14 è 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} quando ± è più. Aggiungi 14 a 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Dividi 14+2\sqrt{85} per 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{85} da 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Dividi 14-2\sqrt{85} per 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-14}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Dividi -\frac{7}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Aggiungi \frac{9}{4} a \frac{49}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Aggiungi \frac{7}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$