Risolvi 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-27. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-18 b=6$$

Riscrivi 4x^{2}-12x-27 come \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-9=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -12 a b e -27 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Aggiungi 144 a 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±24}{8} quando ± è più. Aggiungi 12 a 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Riduci la frazione \frac{36}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±24}{8} quando ± è meno. Sottrai 24 da 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Aggiungi 27 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Sottraendo -27 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Sottrai -27 da 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Dividi -12 per 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Aggiungi \frac{27}{4} a \frac{9}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Fattore x^{2}-3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$