Risolvi 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Sottraendo 16 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Sottrai 16 da 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -11 a b e 14 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Eleva -11 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Aggiungi 121 a -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

L'opposto di -11 è 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} quando ± è più. Aggiungi 11 a i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{103} da 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Sottrai 30 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Sottraendo 30 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Sottrai 30 da 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-14}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Dividi -\frac{11}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Aggiungi -\frac{7}{2} a \frac{121}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Scomponi x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Aggiungi \frac{11}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$