Risolvi 4x^2-100x+96=0

$$4 x ^ { 2 } - 100 x + 96 = 0$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=24$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}-25x+24=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-25 ab=1\times 24=24$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

La soluzione è la coppia che restituisce -25 come somma.

$$a=-24 b=-1$$

Riscrivi x^{2}-25x+24 come \left(x^{2}-24x\right)+\left(-x+24\right).

$$\left(x^{2}-24x\right)+\left(-x+24\right)$$

Fattori in x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-24\right)-\left(x-24\right)$$

Fattorizza il termine comune x-24 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-24\right)\left(x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-24=0 e x-1=0.

$$x=24 x=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-100x+96=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -100 a b e 96 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 4\times 96}}{2\times 4}$$

Eleva -100 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 4\times 96}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-16\times 96}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 96.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-1536}}{2\times 4}$$

Aggiungi 10000 a -1536.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{8464}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 8464.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±92}{2\times 4}$$

L'opposto di -100 è 100.

$$x=\frac{100±92}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{100±92}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{100±92}{8} quando ± è più. Aggiungi 100 a 92.

$$x=\frac{192}{8}$$

Dividi 192 per 8.

$$x=24$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{100±92}{8} quando ± è meno. Sottrai 92 da 100.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividi 8 per 8.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=24 x=1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-100x+96=0$$

Sottrai 96 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-100x+96-96=-96$$

Sottraendo 96 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-100x=-96$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-100x}{4}=-\frac{96}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{100}{4}\right)x=-\frac{96}{4}$$

Dividi -100 per 4.

$$x^{2}-25x=-\frac{96}{4}$$

Dividi -96 per 4.

$$x^{2}-25x=-24$$

Dividi -25, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{25}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{25}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{25}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-24+\frac{625}{4}$$

Aggiungi -24 a \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{529}{4}$$

Fattore x^{2}-25x+\frac{625}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{23}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{23}{2}$$

Aggiungi \frac{25}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=24 x=1$$