Risolvi 4x^2-10x=-12

$$4 x ^ { 2 } - 10 x = - 12$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4}\approx 1,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}\approx 1,25-1,198957881i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-10x=-12$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-10x-\left(-12\right)=-12-\left(-12\right)$$

Sottraendo -12 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-10x-\left(-12\right)=0$$

Sottrai -12 da 0.

$$4x^{2}-10x+12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -10 a b e 12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 12}}{2\times 4}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 4\times 12}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-16\times 12}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 12.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-192}}{2\times 4}$$

Aggiungi 100 a -192.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-92}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di -92.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{23}i}{2\times 4}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{8} quando ± è più. Aggiungi 10 a 2i\sqrt{23}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{23}i}{8}$$

Dividi 10+2i\sqrt{23} per 8.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±2\sqrt{23}i}{8} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{23} da 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i+10}{8}$$

Dividi 10-2i\sqrt{23} per 8.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-10x=-12$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-10x}{4}=-\frac{12}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{4}\right)x=-\frac{12}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{12}{4}$$

Dividi -12 per 4.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-3$$

Dividi -\frac{5}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-3+\frac{25}{16}$$

Aggiungi -3 a \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{23}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Aggiungi \frac{5}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{4}$$