Risolvi 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0.190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.309016994$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 6 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

Aggiungi 36 a -16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 20.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} quando ± è più. Aggiungi -6 a 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

Dividi -6+2\sqrt{5} per 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{5} da -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

Dividi -6-2\sqrt{5} per 8.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+6x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Riduci la frazione \frac{6}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Dividi \frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

Aggiungi -\frac{1}{4} a \frac{9}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

Scomponi x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Sottrai \frac{3}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$