Risolvi 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-81. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce 48 come somma.

$$a=-6 b=54$$

Riscrivi 4x^{2}+48x-81 come \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 27 nel secondo gruppo.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-3=0 e 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 48 a b e -81 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 48 al quadrato.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Aggiungi 2304 a 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-48±60}{8} quando ± è più. Aggiungi -48 a 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-48±60}{8} quando ± è meno. Sottrai 60 da -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-108}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Aggiungi 81 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Sottraendo -81 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Sottrai -81 da 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Dividi 48 per 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Dividi 12, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 6. Quindi aggiungi il quadrato di 6 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Aggiungi \frac{81}{4} a 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Fattore x^{2}+12x+36. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Semplifica.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$