Risolvi 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 4 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} quando ± è più. Aggiungi -4 a 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Dividi -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} per 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} quando ± è meno. Sottrai 8i\sqrt{2} da -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Dividi -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} per 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Dividi 4 per 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Aggiungi -\frac{9}{4} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$