Risolvi 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$1,4 2,2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+4=5 2+2=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=2 b=2$$

Riscrivi 4x^{2}+4x+1 come \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Scomponi 2x in 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Fattorizza il termine comune 2x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 4 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Dividi 4 per 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Aggiungi -\frac{1}{4} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=-\frac{1}{2}$$