Risolvi 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Trova x

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 10.

$$1,10 2,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+10=11 2+5=7$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=2 b=5$$

Riscrivi x^{2}+7x+10 come \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Fattori in x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Fattorizza il termine comune x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+2=0 e x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 28 a b e 40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Eleva 28 al quadrato.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Aggiungi 784 a -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-28±12}{8} quando ± è più. Aggiungi -28 a 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Dividi -16 per 8.

$$x=-2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-28±12}{8} quando ± è meno. Sottrai 12 da -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Dividi -40 per 8.

$$x=-5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-2 x=-5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Sottrai 40 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Sottraendo 40 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Dividi 28 per 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Dividi -40 per 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Dividi 7, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Aggiungi -10 a \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore x^{2}+7x+\frac{49}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Sottrai \frac{7}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-2 x=-5$$