Risolvi 4x^2+24x+32=0

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 32 = 0$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=-2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}+6x+8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=1\times 8=8$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 8.

$$1,8 2,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+8=9 2+4=6$$

La soluzione è la coppia che restituisce 6 come somma.

$$a=2 b=4$$

Riscrivi x^{2}+6x+8 come \left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)$$

Fattorizza il termine comune x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+2=0 e x+4=0.

$$x=-2 x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 24 a b e 32 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Eleva 24 al quadrato.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 32}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 32.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-512}}{2\times 4}$$

Aggiungi 576 a -512.

$$x=\frac{-24±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$x=\frac{-24±8}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-24±8}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-24±8}{8} quando ± è più. Aggiungi -24 a 8.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Dividi -16 per 8.

$$x=-2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-24±8}{8} quando ± è meno. Sottrai 8 da -24.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Dividi -32 per 8.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-2 x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Sottrai 32 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+24x+32-32=-32$$

Sottraendo 32 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+24x=-32$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+24x}{4}=-\frac{32}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{24}{4}x=-\frac{32}{4}$$

Dividi 24 per 4.

$$x^{2}+6x=-\frac{32}{4}$$

Dividi -32 per 4.

$$x^{2}+6x=-8$$

Dividi 6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 3. Quindi aggiungi il quadrato di 3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-8+3^{2}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x^{2}+6x+9=-8+9$$

Aggiungi -8 a 9.

$$x^{2}+6x+9=1$$

Fattore x^{2}+6x+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$x+3=1 x+3=-1$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-2 x=-4$$