Risolvi 4x^2+110x+25=0

$$4 x ^ { 2 } + 110 x + 25 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}\approx -0,229182717$$

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}\approx -27,270817283$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 110 a b e 25 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Eleva 110 al quadrato.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-16\times 25}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 25.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-400}}{2\times 4}$$

Aggiungi 12100 a -400.

$$x=\frac{-110±\sqrt{11700}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 11700.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} quando ± è più. Aggiungi -110 a 30\sqrt{13}.

$$x=\frac{30\sqrt{13}-110}{8}$$

Dividi -110+30\sqrt{13} per 8.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} quando ± è meno. Sottrai 30\sqrt{13} da -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{13}-110}{8}$$

Dividi -110-30\sqrt{13} per 8.

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Sottrai 25 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+110x+25-25=-25$$

Sottraendo 25 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+110x=-25$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+110x}{4}=-\frac{25}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{110}{4}x=-\frac{25}{4}$$

Riduci la frazione \frac{110}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x=-\frac{25}{4}$$

Dividi \frac{55}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{55}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{55}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{55}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=-\frac{25}{4}+\frac{3025}{16}$$

Aggiungi -\frac{25}{4} a \frac{3025}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=\frac{2925}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}=\frac{2925}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2925}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{55}{4}=\frac{15\sqrt{13}}{4} x+\frac{55}{4}=-\frac{15\sqrt{13}}{4}$$

Sottrai \frac{55}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$