Risolvi 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-20. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 11 come somma.

$$a=-5 b=16$$

Riscrivi 4x^{2}+11x-20 come \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x-5=0 e x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 11 a b e -20 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Aggiungi 121 a 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±21}{8} quando ± è più. Aggiungi -11 a 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Riduci la frazione \frac{10}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±21}{8} quando ± è meno. Sottrai 21 da -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Dividi -32 per 8.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Aggiungi 20 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Sottraendo -20 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Sottrai -20 da 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Dividi 20 per 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Dividi \frac{11}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{11}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{11}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Aggiungi 5 a \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Fattore x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Sottrai \frac{11}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$