Risolvi 4w+16w^2=80

$$4 w + 16 w ^ { 2 } = 80$$

Trova w

$$w = \frac{\sqrt{321} - 1}{8} \approx 2,114559108$$

$$w=\frac{-\sqrt{321}-1}{8}\approx -2,364559108$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$16w^{2}+4w=80$$

Sottrai 80 da entrambi i lati dell'equazione.

$$16w^{2}+4w-80=80-80$$

Sottraendo 80 da se stesso rimane 0.

$$16w^{2}+4w-80=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 16 a a, 4 a b e -80 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 16\left(-80\right)}}{2\times 16}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$w=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 16\left(-80\right)}}{2\times 16}$$

Moltiplica -4 per 16.

$$w=\frac{-4±\sqrt{16-64\left(-80\right)}}{2\times 16}$$

Moltiplica -64 per -80.

$$w=\frac{-4±\sqrt{16+5120}}{2\times 16}$$

Aggiungi 16 a 5120.

$$w=\frac{-4±\sqrt{5136}}{2\times 16}$$

Calcola la radice quadrata di 5136.

$$w=\frac{-4±4\sqrt{321}}{2\times 16}$$

Moltiplica 2 per 16.

$$w=\frac{-4±4\sqrt{321}}{32}$$

Ora risolvi l'equazione w=\frac{-4±4\sqrt{321}}{32} quando ± è più. Aggiungi -4 a 4\sqrt{321}.

$$w=\frac{4\sqrt{321}-4}{32}$$

Dividi -4+4\sqrt{321} per 32.

$$w=\frac{\sqrt{321}-1}{8}$$

Ora risolvi l'equazione w=\frac{-4±4\sqrt{321}}{32} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{321} da -4.

$$w=\frac{-4\sqrt{321}-4}{32}$$

Dividi -4-4\sqrt{321} per 32.

$$w=\frac{-\sqrt{321}-1}{8}$$

L'equazione è stata risolta.

$$w=\frac{\sqrt{321}-1}{8} w=\frac{-\sqrt{321}-1}{8}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$16w^{2}+4w=80$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$\frac{16w^{2}+4w}{16}=\frac{80}{16}$$

La divisione per 16 annulla la moltiplicazione per 16.

$$w^{2}+\frac{4}{16}w=\frac{80}{16}$$

Riduci la frazione \frac{4}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$w^{2}+\frac{1}{4}w=\frac{80}{16}$$

Dividi 80 per 16.

$$w^{2}+\frac{1}{4}w=5$$

Dividi \frac{1}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$w^{2}+\frac{1}{4}w+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$w^{2}+\frac{1}{4}w+\frac{1}{64}=5+\frac{1}{64}$$

Aggiungi 5 a \frac{1}{64}.

$$w^{2}+\frac{1}{4}w+\frac{1}{64}=\frac{321}{64}$$

Fattore w^{2}+\frac{1}{4}w+\frac{1}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{321}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(w+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{321}{64}}$$

Semplifica.

$$w+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{321}}{8} w+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{321}}{8}$$

Sottrai \frac{1}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$w=\frac{\sqrt{321}-1}{8} w=\frac{-\sqrt{321}-1}{8}$$