Risolvi 4s^2+32s+63=0

$$4 s ^ { 2 } + 32 s + 63 = 0$$

Trova s

$$s = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$s = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4s^{2}+as+bs+63. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=32 ab=4\times 63=252$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

La soluzione è la coppia che restituisce 32 come somma.

$$a=14 b=18$$

Riscrivi 4s^{2}+32s+63 come \left(4s^{2}+14s\right)+\left(18s+63\right).

$$\left(4s^{2}+14s\right)+\left(18s+63\right)$$

Fattori in 2s nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$2s\left(2s+7\right)+9\left(2s+7\right)$$

Fattorizza il termine comune 2s+7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2s+7\right)\left(2s+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2s+7=0 e 2s+9=0.

$$s=-\frac{7}{2} s=-\frac{9}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4s^{2}+32s+63=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 32 a b e 63 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$s=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 4\times 63}}{2\times 4}$$

Eleva 32 al quadrato.

$$s=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 4\times 63}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$s=\frac{-32±\sqrt{1024-16\times 63}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 63.

$$s=\frac{-32±\sqrt{1024-1008}}{2\times 4}$$

Aggiungi 1024 a -1008.

$$s=\frac{-32±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$s=\frac{-32±4}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$s=\frac{-32±4}{8}$$

Ora risolvi l'equazione s=\frac{-32±4}{8} quando ± è più. Aggiungi -32 a 4.

$$s=-\frac{28}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-28}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$s=-\frac{7}{2}$$

Ora risolvi l'equazione s=\frac{-32±4}{8} quando ± è meno. Sottrai 4 da -32.

$$s=-\frac{36}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-36}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$s=-\frac{9}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$s=-\frac{7}{2} s=-\frac{9}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4s^{2}+32s+63=0$$

Sottrai 63 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4s^{2}+32s+63-63=-63$$

Sottraendo 63 da se stesso rimane 0.

$$4s^{2}+32s=-63$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4s^{2}+32s}{4}=-\frac{63}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$s^{2}+\frac{32}{4}s=-\frac{63}{4}$$

Dividi 32 per 4.

$$s^{2}+8s=-\frac{63}{4}$$

Dividi 8, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 4. Quindi aggiungi il quadrato di 4 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$s^{2}+8s+4^{2}=-\frac{63}{4}+4^{2}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$s^{2}+8s+16=-\frac{63}{4}+16$$

Aggiungi -\frac{63}{4} a 16.

$$s^{2}+8s+16=\frac{1}{4}$$

Fattore s^{2}+8s+16. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(s+4\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(s+4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$s+4=\frac{1}{2} s+4=-\frac{1}{2}$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$s=-\frac{7}{2} s=-\frac{9}{2}$$