Risolvi 4r^2-12r+9

$$4 r ^ { 2 } - 12 r + 9$$

Scomponi in fattori

$$\left(2r-3\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 4r^{2}+ar+br+9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-6 b=-6$$

Riscrivi 4r^{2}-12r+9 come \left(4r^{2}-6r\right)+\left(-6r+9\right).

$$\left(4r^{2}-6r\right)+\left(-6r+9\right)$$

Fattori in 2r nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$2r\left(2r-3\right)-3\left(2r-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2r-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2r-3\right)\left(2r-3\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(2r-3\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(4r^{2}-12r+9)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(4,-12,9)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 4r^{2}.

$$\sqrt{4r^{2}}=2r$$

Trova la radice quadrata del termine finale 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(2r-3\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$4r^{2}-12r+9=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$r=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$r=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$r=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 9.

$$r=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Aggiungi 144 a -144.

$$r=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$r=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 4}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$r=\frac{12±0}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$r=\frac{12±0}{8}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{2} e x_{2} con \frac{3}{2}.

$$4r^{2}-12r+9=4\left(r-\frac{3}{2}\right)\left(r-\frac{3}{2}\right)$$

Sottrai \frac{3}{2} da r trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4r^{2}-12r+9=4\times \frac{2r-3}{2}\left(r-\frac{3}{2}\right)$$

Sottrai \frac{3}{2} da r trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4r^{2}-12r+9=4\times \frac{2r-3}{2}\times \frac{2r-3}{2}$$

Moltiplica \frac{2r-3}{2} per \frac{2r-3}{2} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4r^{2}-12r+9=4\times \frac{\left(2r-3\right)\left(2r-3\right)}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$4r^{2}-12r+9=4\times \frac{\left(2r-3\right)\left(2r-3\right)}{4}$$

Annulla il massimo comune divisore 4 in 4 e 4.

$$4r^{2}-12r+9=\left(2r-3\right)\left(2r-3\right)$$

Calcola

$$\left(2r-3\right)^{2}$$