Risolvi 4p^2-25p+21=-4

$$4 p ^ { 2 } - 25 p + 21 = - 4$$

Trova p

$$p = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

$$p=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$4p^{2}-25p+21+4=0$$

E 21 e 4 per ottenere 25.

$$4p^{2}-25p+25=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4p^{2}+ap+bp+25. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-25 ab=4\times 25=100$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

La soluzione è la coppia che restituisce -25 come somma.

$$a=-20 b=-5$$

Riscrivi 4p^{2}-25p+25 come \left(4p^{2}-20p\right)+\left(-5p+25\right).

$$\left(4p^{2}-20p\right)+\left(-5p+25\right)$$

Fattori in 4p nel primo e -5 nel secondo gruppo.

$$4p\left(p-5\right)-5\left(p-5\right)$$

Fattorizza il termine comune p-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(p-5\right)\left(4p-5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere p-5=0 e 4p-5=0.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4p^{2}-25p+21=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4p^{2}-25p+21-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

Sottraendo -4 da se stesso rimane 0.

$$4p^{2}-25p+21-\left(-4\right)=0$$

Sottrai -4 da 21.

$$4p^{2}-25p+25=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -25 a b e 25 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Eleva -25 al quadrato.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-16\times 25}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 25.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-400}}{2\times 4}$$

Aggiungi 625 a -400.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 225.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±15}{2\times 4}$$

L'opposto di -25 è 25.

$$p=\frac{25±15}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$p=\frac{25±15}{8}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{25±15}{8} quando ± è più. Aggiungi 25 a 15.

$$p=\frac{40}{8}$$

Dividi 40 per 8.

$$p=5$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{25±15}{8} quando ± è meno. Sottrai 15 da 25.

$$p=\frac{10}{8}$$

Riduci la frazione \frac{10}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$p=\frac{5}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4p^{2}-25p+21=-4$$

Sottrai 21 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4p^{2}-25p+21-21=-4-21$$

Sottraendo 21 da se stesso rimane 0.

$$4p^{2}-25p=-4-21$$

Sottrai 21 da -4.

$$4p^{2}-25p=-25$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4p^{2}-25p}{4}=-\frac{25}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p=-\frac{25}{4}$$

Dividi -\frac{25}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{25}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{25}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{25}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}=-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}$$

Aggiungi -\frac{25}{4} a \frac{625}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}=\frac{225}{64}$$

Fattore p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{25}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(p-\frac{25}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Semplifica.

$$p-\frac{25}{8}=\frac{15}{8} p-\frac{25}{8}=-\frac{15}{8}$$

Aggiungi \frac{25}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$