Risolvi 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Trova n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 11 da entrambi i lati.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4n^{2}+an+bn-11. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-11 b=4$$

Riscrivi 4n^{2}-7n-11 come \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Scomponi n in 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Fattorizzare il termine comune 4n-11 usando la proprietà distributiva.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 4n-11=0 e n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4n^{2}-7n=11$$

Sottrai 11 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Sottraendo 11 da se stesso rimane 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -7 a b e -11 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Aggiungi 49 a 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{7±15}{8} quando ± è più. Aggiungi 7 a 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Riduci la frazione \frac{22}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{7±15}{8} quando ± è meno. Sottrai 15 da 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Dividi -8 per 8.

$$n=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Dividi -\frac{7}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Aggiungi \frac{11}{4} a \frac{49}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Scomponi n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Semplifica.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Aggiungi \frac{7}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$