Risolvi 4n^2-12n+9=0

$$4 n ^ { 2 } - 12 n + 9 = 0$$

Trova n

$$n = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4n^{2}+an+bn+9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-6 b=-6$$

Riscrivi 4n^{2}-12n+9 come \left(4n^{2}-6n\right)+\left(-6n+9\right).

$$\left(4n^{2}-6n\right)+\left(-6n+9\right)$$

Fattori in 2n nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$2n\left(2n-3\right)-3\left(2n-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2n-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2n-3\right)\left(2n-3\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(2n-3\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 2n-3=0.

$$n=\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4n^{2}-12n+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -12 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 9.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Aggiungi 144 a -144.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$n=-\frac{-12}{2\times 4}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$n=\frac{12}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$n=\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$n=\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-12n+9=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4n^{2}-12n+9-9=-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$4n^{2}-12n=-9$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4n^{2}-12n}{4}=-\frac{9}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$n^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)n=-\frac{9}{4}$$

Dividi -12 per 4.

$$n^{2}-3n=-\frac{9}{4}$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}-3n+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}-3n+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Aggiungi -\frac{9}{4} a \frac{9}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$n^{2}-3n+\frac{9}{4}=0$$

Fattore n^{2}-3n+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$n-\frac{3}{2}=0 n-\frac{3}{2}=0$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$n=\frac{3}{2} n=\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$n=\frac{3}{2}$$