Risolvi 4n^2+34n-140=0

$$4 n ^ { 2 } + 34 n - 140 = 0$$

Trova n

$$n = \frac{\sqrt{849} - 17}{4} \approx 3,034401142$$

$$n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}\approx -11,534401142$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4n^{2}+34n-140=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 34 a b e -140 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 4\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 34 al quadrato.

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156-4\times 4\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156-16\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -140.

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156+2240}}{2\times 4}$$

Aggiungi 1156 a 2240.

$$n=\frac{-34±\sqrt{3396}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 3396.

$$n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8} quando ± è più. Aggiungi -34 a 2\sqrt{849}.

$$n=\frac{2\sqrt{849}-34}{8}$$

Dividi -34+2\sqrt{849} per 8.

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{849} da -34.

$$n=\frac{-2\sqrt{849}-34}{8}$$

Dividi -34-2\sqrt{849} per 8.

$$n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4} n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}+34n-140=0$$

Aggiungi 140 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4n^{2}+34n-140-\left(-140\right)=-\left(-140\right)$$

Sottraendo -140 da se stesso rimane 0.

$$4n^{2}+34n=-\left(-140\right)$$

Sottrai -140 da 0.

$$4n^{2}+34n=140$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4n^{2}+34n}{4}=\frac{140}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$n^{2}+\frac{34}{4}n=\frac{140}{4}$$

Riduci la frazione \frac{34}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n=\frac{140}{4}$$

Dividi 140 per 4.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n=35$$

Dividi \frac{17}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{17}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{17}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=35+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{17}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}=35+\frac{289}{16}$$

Aggiungi 35 a \frac{289}{16}.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}=\frac{849}{16}$$

Fattore n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{849}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{849}{16}}$$

Semplifica.

$$n+\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{849}}{4} n+\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{849}}{4}$$

Sottrai \frac{17}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4} n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$