Risolvi 4k^2+12k+9=0

$$4 k ^ { 2 } + 12 k + 9 = 0$$

Trova k

$$k = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4k^{2}+ak+bk+9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

La soluzione è la coppia che restituisce 12 come somma.

$$a=6 b=6$$

Riscrivi 4k^{2}+12k+9 come \left(4k^{2}+6k\right)+\left(6k+9\right).

$$\left(4k^{2}+6k\right)+\left(6k+9\right)$$

Fattori in 2k nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2k\left(2k+3\right)+3\left(2k+3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2k+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2k+3\right)\left(2k+3\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(2k+3\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 2k+3=0.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4k^{2}+12k+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 12 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Eleva 12 al quadrato.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 9.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Aggiungi 144 a -144.

$$k=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$k=-\frac{12}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$k=-\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4k^{2}+12k+9=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4k^{2}+12k+9-9=-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$4k^{2}+12k=-9$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4k^{2}+12k}{4}=-\frac{9}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$k^{2}+\frac{12}{4}k=-\frac{9}{4}$$

Dividi 12 per 4.

$$k^{2}+3k=-\frac{9}{4}$$

Dividi 3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$k^{2}+3k+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$k^{2}+3k+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Aggiungi -\frac{9}{4} a \frac{9}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$k^{2}+3k+\frac{9}{4}=0$$

Fattore k^{2}+3k+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(k+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$k+\frac{3}{2}=0 k+\frac{3}{2}=0$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$k=-\frac{3}{2} k=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$k=-\frac{3}{2}$$