Risolvi 4d^2+36d+81

$$4 d ^ { 2 } + 36 d + 81$$

Scomponi in fattori

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 4d^{2}+ad+bd+81. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=36 ab=4\times 81=324$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

La soluzione è la coppia che restituisce 36 come somma.

$$a=18 b=18$$

Riscrivi 4d^{2}+36d+81 come \left(4d^{2}+18d\right)+\left(18d+81\right).

$$\left(4d^{2}+18d\right)+\left(18d+81\right)$$

Fattori in 2d nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$2d\left(2d+9\right)+9\left(2d+9\right)$$

Fattorizza il termine comune 2d+9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(4d^{2}+36d+81)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(4,36,81)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 4d^{2}.

$$\sqrt{4d^{2}}=2d$$

Trova la radice quadrata del termine finale 81.

$$\sqrt{81}=9$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$4d^{2}+36d+81=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$d=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 4\times 81}}{2\times 4}$$

Eleva 36 al quadrato.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 4\times 81}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-16\times 81}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 81.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 4}$$

Aggiungi 1296 a -1296.

$$d=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$d=\frac{-36±0}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$d=\frac{-36±0}{8}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{9}{2} e x_{2} con -\frac{9}{2}.

$$4d^{2}+36d+81=4\left(d-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)\left(d-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$4d^{2}+36d+81=4\left(d+\frac{9}{2}\right)\left(d+\frac{9}{2}\right)$$

Aggiungi \frac{9}{2} a d trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{2d+9}{2}\left(d+\frac{9}{2}\right)$$

Aggiungi \frac{9}{2} a d trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{2d+9}{2}\times \frac{2d+9}{2}$$

Moltiplica \frac{2d+9}{2} per \frac{2d+9}{2} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)}{4}$$

Annulla il massimo comune divisore 4 in 4 e 4.

$$4d^{2}+36d+81=\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)$$

Calcola

$$\left(2d+9\right)^{2}$$