Risolvi 4(x^2+2x)+1/x^2+2x=-5

$$4 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } = - 5$$

Trova x

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -1,866025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -0,133974596$$

$$x=-1$$

Procedura della soluzione

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right).

$$4\left(x^{2}+2x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x^{2}+2x.

$$\left(4x^{2}+8x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x^{2}+8x per x.

$$\left(4x^{3}+8x^{2}\right)\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x^{3}+8x^{2} per x+2 e combinare i termini simili.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5x per x+2.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x^{2}-10x$$

Aggiungi 5x^{2} a entrambi i lati.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1+5x^{2}=-10x$$

Combina 16x^{2} e 5x^{2} per ottenere 21x^{2}.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1=-10x$$

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1+10x=0$$

Ridisponi l'equazione per convertirla nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante 1 e q divide il coefficiente iniziale 4. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=-1$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi 4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1 per x+1 per ottenere 4x^{3}+12x^{2}+9x+1. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$4x^{3}+12x^{2}+9x+1=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante 1 e q divide il coefficiente iniziale 4. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=-1$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi 4x^{3}+12x^{2}+9x+1 per x+1 per ottenere 4x^{2}+8x+1. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$4x^{2}+8x+1=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 4 con a, 8 con b e 1 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}}{8}$$

Risolvi l'equazione 4x^{2}+8x+1=0 quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$x=-1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$