Risolvi 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2,716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2,716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x^{2}+4 per 2x^{2}+1 e combinare i termini simili.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5 per x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Sottrai 5x^{4} da entrambi i lati.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Combina 8x^{4} e -5x^{4} per ottenere 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Aggiungi 10x^{2} a entrambi i lati.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Combina 12x^{2} e 10x^{2} per ottenere 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Sottrai 5 da entrambi i lati.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Sottrai 5 da 4 per ottenere -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Sostituisci t per x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 3 con a, 22 con b e -1 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Poiché x=t^{2}, le soluzioni vengono ottenute valutando x=±\sqrt{t} per ogni t.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Trova x

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x^{2}+4 per 2x^{2}+1 e combinare i termini simili.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5 per x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Sottrai 5x^{4} da entrambi i lati.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Combina 8x^{4} e -5x^{4} per ottenere 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Aggiungi 10x^{2} a entrambi i lati.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Combina 12x^{2} e 10x^{2} per ottenere 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Sottrai 5 da entrambi i lati.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Sottrai 5 da 4 per ottenere -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Sostituisci t per x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 3 con a, 22 con b e -1 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Poiché x=t^{2}, le soluzioni vengono ottenute valutando x=±\sqrt{t} per t positivo.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$