Risolvi 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Sottrai 169 da 4 per ottenere -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-165. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

La soluzione è la coppia che restituisce 8 come somma.

$$a=-22 b=30$$

Riscrivi 4x^{2}+8x-165 come \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 15 nel secondo gruppo.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-11 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-11=0 e 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Sottrai 169 da 4 per ottenere -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 8 a b e -165 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 8 al quadrato.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Aggiungi 64 a 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-8±52}{8} quando ± è più. Aggiungi -8 a 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Riduci la frazione \frac{44}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-8±52}{8} quando ± è meno. Sottrai 52 da -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-60}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Sottrai 169 da 4 per ottenere -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Aggiungi 165 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$4x^{2}+8x=165$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Dividi 8 per 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Dividi 2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 1. Quindi aggiungi il quadrato di 1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Aggiungi \frac{165}{4} a 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Fattore x^{2}+2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Semplifica.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$