Risolvi 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0,625+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0,625-1,452368755i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -5 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

Aggiungi 25 a -160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di -135.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} quando ± è più. Aggiungi 5 a 3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} quando ± è meno. Sottrai 3i\sqrt{15} da 5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

Sottraendo 10 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-5x=-10$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Dividi -\frac{5}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

Aggiungi -\frac{5}{2} a \frac{25}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Aggiungi \frac{5}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$