Risolvi 4x^2-4x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-3 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-6 b=2$$

Riscrivi 4x^{2}-4x-3 come \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

Scomponi 2x in 4x^{2}-6x.

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Fattorizzare il termine comune 2x-3 usando la proprietà distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 2x-3=0 e 2x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -4 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a 48.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{4±8}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±8}{8} quando ± è più. Aggiungi 4 a 8.

$$x=\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±8}{8} quando ± è meno. Sottrai 8 da 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$4x^{2}-4x=3$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

Scomponi x^{2}-x+\frac{1}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$