Risolvi 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-10 b=6$$

Riscrivi 4x^{2}-4x-15 come \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-5=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -4 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±16}{8} quando ± è più. Aggiungi 4 a 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Riduci la frazione \frac{20}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±16}{8} quando ± è meno. Sottrai 16 da 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Aggiungi 15 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Sottraendo -15 da se stesso rimane 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Sottrai -15 da 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Aggiungi \frac{15}{4} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$